Zadání domácího úkolu

V letošní závěrečné eseji nebudete příliš limitováni – vyberte si určitou partii matematiky a napište mi o ní pojednání v minimální délce 11 palců před vložením do adminu. Pod touto partií ale rozumějte spíše konkrétní jevy, které jsou zajímavé a takříkajíc kouzelné, které dokáží zaujmout i laika – viz například problematika zlatého řezu, zrcadlová čísla, tři problémy starověké geometrie a tak dále; vyberte si sami, o čem se chcete a dokážete rozepsat, budu se na vaše práce těšit. :-)

Vypracování

Nenormální nula

Úvod
Když jsem se rozhodovala, o čem psát v závěrečné eseji, neustále jsem musela bojovat s myšlenkou, že bych nejradši nepsala o ničem. Pak mi ale došlo, že by to vlastně nemusel být zas takový problém - vždyť právě "nula" v matematice označuje jakési nic. A ve srovnání s ostatními čísly je nezvyklá a v mnoha chvílích kouzelná. nebo aspoň dostatečně nepochopitelná... ehm, vlastně tajemná
Co je vlastně nula zač? Proč není možné nulou dělit? Kde se vlastně vzala? To a mnohem víc najdete v následujícíh řádcích.

Bylo nebylo...
Kde se vlastně vzala nula? Pro nás je přirozenou a nezbytnou součástí početního systému. Oproti tomu v Řecku nula neexistovala. Možná to mělo jistou spojitost s antickou filosofií, ve které se objevil názor, že "nic nelze ani myslet". Kdo ví. Nepřítomnost nuly každopádně výrazně ovlivnila možnosti počítat.
Řecký číselný systém je nepoziční. Znamená to, že váha číslice nesouvsí s umístěním v čísle. V našem desítkovém pozičním systému víme, že druhé číslice vlevo od desetinné čárky jsou desítky, třetí stovky. V Řecku nic takového neexistovalo. X, L, VII, CC. Vystačili si bez nuly. Znamená to, že nula byla a je nepotřebná?
Naopak. Objev nuly byl jedním z nejdůležitějších matematických počinů. Pozvedl matematiku do abstraktnějších výšin a umožnil matematické operace do té doby nemožné. Nula se stala nejen důležitou číslicí, ale hlavně číslem.
V Evropě se začala šířit nula až začátkem druhého tisíceletí, spolu s ostatními arabskými číslicemi. Světlo světla spatřila už mnohem dřív. Prototyp nuly znali už Babyloňané, nulu, kterou známé dnes pravděpodovbně jako první používali staří Indové, na které později navázali Arabové.
Když se ve středověku nula konečně dostala do Evropy, byla jí církví přisuzována ďábelská podstata. I když jí toto "privilegium" budeme muset upřít, je nesporné, že je dodnes jedinečná.

Střed všeho dění
Nula. Ani sudá, ani lichá. Ani kladná, ani záporná. Počátek osy, který jí rozděluje na dvě polopřímky běžící k nekonečnu. Sama netečná. Nemastná, neslaná nebo jedinečná?
Já jsem pro jediečnost. Že není kladná ani záporná? Odděluje kladná čísla od záporných. Je jednoduše svá, neutrální. Stejně tak se nemusí trápit sudostí nebo lichostí. Nula je nula.
Má ještě něco navíc? Jistě. Nejen, že je neutrální co se týče znaménka, je jediným neutrálním prvkem při sčítání. Při násobení jí byla neutralita vyfouknuta jedničkou a tak se nula musí spokojit s tím, že je při násobení "pouze" absorbčním prvkem.

Kouzlo důkazů
Jednou z nejzkouzelnějších částí matematiky je říše matematických důkazů. Po pravdě řečeno, mnohým připadá jako nejzvrácenější černá magie, ale většinou to bývá zapříčeněno pouhým nepochopením krásy řešení složitých problémů ještě složitější cestou. Někdy se ovšem objeví důkazy krásné, krátké a jednoduché a nejeden z nich souvisí právě s nulou.
Zmínila jsem, že je nula při násobení absorbčním prvkem. Většina mudlů by jednoduše řekla, že když nulou násobíme cokoli, je to nula. Když se jich zeptáte proč, divně se na vás podívají, slušnější řeknou "prostě to tak je".
Že 3*0 = 0 není tak těžké pochopit. Když nemám žádnou trojku, nemám nic, tedy nulu. Jenže tato zjednodušení neplatí vždy, proto je potřeba 3*0=0 dokázat. Proč vlastně ne, vždyť je to lehké...
Víme, že 1-1=0. Pak pro libovolné číslo a musí platit:
a*0 = a*(1-1)
Pokud použijeme distributivní axiom nebo nějaké podobně znějící zvěrstvo, které pravděpodobně nebude složité, ale jehož přesný smysl jsem zatím nezjiš'tovala... já bych jednoduše řekla, nahradíme nulu jiným vyjádřením nuly a roznásobíme závorku číslem a; jenže to nezní tak učeně..., získáme následující vztah:
a*(1-1) = a-a
Protože a-a=0, můžeme napsat:
a*0 = a* (1-1) = a - a = 0
tedy
a*0 = 0
No řekněte, není to krásné?

Nulou dělit nelze?!
Násobení nulou je tedy krásná a jednoduchá věc. Jek je to ale s dělením?
Každé dítko školou povinné vám řekne, že dělit nulou nejde. Mudlovské kalkulačka vám to řekne taky, i když ta k tomu většinou použije kouzelnou formuli "MA error" a hůlka... Pokud má temperamentnější jádro, můžete se těšit na příjemný pobyt na ošetřovně. podívá se na jizvu na pravém předloktí a přemýšlí, jestli příští generaci nenapsat varování: "Zkoušet, 'jestli to něco udělá', je v případě lektvarů a kouzel životu nebezpečné." Proč to ale nejde? To už vám většina lidí vysvětlit nedovede.
Ve skutečnosti je to jednoduché. Dělení nulou by matematiku doslova položilo na lopatky. Zrušilo by to většinu, ne-li všechna, základní matematické pravidla a přineslo by to chaos. Ale JAK a PROČ?
Na odpověď jsem narazila teprve nedávno a její jasnost mi vyrazila dech. Bylo mi jak kdybych objevila Atlantidu. Byl to TAK jednoduchý důkaz.

Dechberoucí důkaz
Vezměme si dvě různá čísla a, b. Už víme, že a*0=0 a b*0=0. Platí tedy, že a*0=b*0. Pokud by šlo dělit nulou, můžeme celou rovnici násobit výrazem 1/0. Výsledkem by bylo a=b. Jenže a,b byla dvě různá čísla!
Jak z toho ven? Jenoduše. Logika kroků byla správná, výsledek je mimo... chybný musel být předpoklad, že nulou lze dělit. Aby nedocházelo k dalším chybným výsledkům, dělení nulou se jednoduše zakázalo. Tím se vyřešila i palčivá otázka, zda 0/0 je 0, 1, neurčitý nebo dokonce nekonečný výraz. Není to nic z toho.

Závěr
O nule by se toho dalo napsat ještě mnoho. Pro matematickou stabilitu bylo nutné, aby se chovali jinak než obvyklá čísla i v jiných situacích. Cokoli na 0 (kromě 0) je 1, 0! je 1... Nula je jednoduše nula jen názvem, nikoli významem.

Zdroje:
R. Kaplan a E. Kaplanová: Umění nekonečna
[link]
[link]
a nejkouzelnější [link] :D