Zadání domácího úkolu

Vypracování

Hezký den,
níže posílám svou esej. Snad se Vám bude líbit.

Protože mám ráda geometrické tvary, zaujaly mě právě jejich obvody a obsahy. V knize Kouzelnická geometrie pro začátečníky se pěkně vysvětluje a ukazuje, jak kouzelníci počítají právě obvod a obsah základních geometrických tvarů. O to, co jsem se dozvěděla, se s Vámi nyní podělím.

Mezi základní geometrické tvary řadíme čtverec, obdélník a trojúhelník.

Chceme-li zjistit, jaký obvod tyto tvary mají, musíme vědět, kde mají tvary rohy. Ať už půjde o tvar na pergamenu anebo ve skutečnosti, musíme na tyto rohy ukázat. 

Formule pro výpočet obvodu zní *Circuitus* [čirkuítus]. Při formuli klepneme (na pergamen) či ukážeme směr (v prostoru) na každý z rohů, přičemž tam, kde začínáme, také končíme. Takže čtverec a obdélník mají celkem 5 klepnutí, trojúhelník pak 4 klepnutí. Tedy vždy je počet klepnutí o jedno vyšší, než kolik rohů tvar má.

Zápis při počítání obvodu bude vypadat následovně:

• obvod čtverce: o = 4 × a
• obvod obdélníku: o = 2 × (a+b)
• obvod trojúhelníku: o = a + b + c

Formuli pronášíme při klepnutí do prvního rohu. 

Písmenko "o" u všech zápisů označuje zkratku pro "obvod"

Písmenko "a" u čtverce značí fakt, že čtverec má všechny čtyři strany stejně dlouhé, proto je také násobíme čtyřmi.

Písmenka "a" a "b" u obdélníku značí fakt, že obdélník má dva páry dvou protilehlých stran (tzn., že se nedotýkají v rozích) stejně dlouhé, proto sečteme délku obou stran a vynásobíme ji dvěma.

Písmenka "a", "b" a "c" u obyčejného trojúhelníku značí fakt, že každá strana trojúhelníka je různě dlouhá. Samozřejmě, že existují také jiné typy trojúhelníků, jako je například rovnostranný či rovnoramenný. Ale jen málokterému kouzelníkovi se chce tento fakt ještě před počítáním zjišťovat. Kdybyste to někdy potřebovali vědět, tak rovnostranný trojúhelník má všechny tři strany stejně dlouhé, takže obvod by byl jednoduše ve stylu "o = 3 × a", pokud by byl trojúhelník rovnoramenný, šlo by o zápis ve stylu "o = 2 × a + b".

Zkusíme si příklad.

Hagridova zahrádka na dýně je ve tvaru čtverce, délka jedné strany plotu je 20 stop. Jaký je obvod celého plotu?

Vidíme, že se bude jednat o čtverec a ejhle, máme tady i 20 stop. Samozřejmě, že můžeme počítat obvod i se stopami, ale to většině z nás neřekne o délce obvodu vůbec nic, protože jsme zvyklí udávat délku v metrech. Proto využijeme již známou formuli *Unitas* ještě předtím, než začneme počítat. 

Zápis bude vypadat třeba takto:

a = 20 stop *Unitas* 6 metrů (zaokrouhlíme to na celé metry)

o = 4 × a

Klepneme 5 × hůlkou postupně do každého z rohů plotu a řekneme při prvním klepnutí formuli *Circuitus*

A objeví se nám výsledek:

o = 24

Protože jsme si převedli stopy na metry, je výsledek také v metrech. Takže obvod (neboli délka) plotu Hagridovy zahrádky je 24 metrů.

Velmi podobně bychom kouzlili i u obdélníku a trojúhelníku. Tam je to snadné. Stačí se soustředit na klepnutí do všech rohů (nezapomenout klepnout jako poslední opět do rohu prvního).

Chceme-li zjistit, jaký obsah tyto tvary mají, musíme vědět, kde mají tvary alespoň dvě strany. Ať už půjde o tvar na pergamenu anebo ve skutečnosti, musíme na tyto strany ukázat. 

Formule pro výpočet obsahu zní *Contentus* [konténtus]. Při formuli uděláme tvar L pro dvě sousedící strany (týká se čtverce a obdélníku) anebo tvar T pro jednu stranu a výšku k ní kolmou (týká se trojúhelníku). 

Zápis při počítání obsahu bude vypadat následovně:

• obsah čtverce: S = a × a
• obsah obdélníku: S = a × b
• obsah trojúhelníku: S = (a × v_a) ÷ 2

Formuli pronášíme při zahájení pohybu hůlkou.

Písmenko "S" u všech zápisů označuje zkratku pro "obSah"

Písmenko "a" u čtverce značí fakt, že čtverec má všechny čtyři strany stejně dlouhé. Kdybychom si představili, že z jedné strany (zleva doprava) přejedeme třeba houbičkou a tak obsáhneme vše, co se tam od levého okraje k pravému nachází. A pak to samé uděláme v druhém směru (třeba shora dolů), tak tam taky obsáhneme vše, co se tam od horního okraje k dolnímu nachází. Proto se tyto strany násobí. 

Písmenka "a" a "b" u obdélníku značí fakt, že obdélník má dva páry dvou protilehlých stran (tzn., že se nedotýkají v rozích) stejně dlouhé. Opět si můžeme představit příklad se stíráním houbičky. Tentokrát však třeba tah zleva doprava bude delší (protože strana "b" je delší, než strana "a"), než tah shora dolů (to je strana "a").

Písmenka "a" a "v_a" má trojúhelník a jejich součin dělíme dvěma. Představte si, že délka strany "a" je jedna z délky strany obdélníku. A druhá strana, častěji ta kratší strana obdélníku, bude tentokrát označena jako "v_a". Obsah obdélníku získáme tím, že tyto strany vynásobíme. Takže by to teoreticky pro tento obdélník bylo "S = a × v_a". Jenže trojúhelník je právě o polovinu menší, než obdélník (nebo chcete-li, obdélník je 2× větší, než takový trojúhelník), proto se pro obsah trojúhelníku toto vydělí dvěma, a vznikne z toho právě "S = (a × v_a) ÷ 2". 

Asi se ptáte, jak může být vždy trojúhelník polovina obdélníku? To záleží jen na Vaší představivosti. Když máme nějaký trojúhelník a chceme z něj udělat obdélník, prostě ho "nakopírujeme" hned vedle té nejdelší strany a máme z něj obdélník. Z nejdelší strany trojúhelníku se tak stane "obdélníkova úhlopříčka". Další informace lze také při práci s trojúhelníkem získat z Pythagorovy věty, která se věnuje pravoúhlým trojúhelníkům. Ale o tom se lze dočíst zase v jiné kapitole.

Procvičení obsahu můžeme provést na dalším příkladu:

Při tréninku na košťatech kapitán rozmístil tři sloupy tak, že tvoří trojúhelník. Největší přímá vzdálenost mezi dvěma sloupy je 56 metrů. Jeden z hráčů se proletěl od třetího sloupce kolmo k trase mezi prvním a druhým sloupcem a zjistil, že tato vzdálenost je 32 metrů.  Úkolem hráčů je obletět tuto plochu. Jak velkou plochu budou hráči na košťatech muset obletět?

Zápis může vypadat třeba takto:

a = 56 m

v_a = 32 m

S = (a × v_a) ÷ 2

Provedeme pohyb hůlky do písmene T, a to od prvního sloupce ke druhému a pak kolmo od třetího sloupce směrem k trase mezi prvním a druhým sloupcem. Při začátku pohybu řekneme formuli *Contentus*

A objeví se nám výsledek:

S = 896 m²

Odpovědí by pak bylo, že hráči musí obletět plochu o obsahu 896 m² (metrů čtverečních).

Co znamená ono m²? To jsou tzv. metry čtvereční. Odvozeny jsou právě od toho, jak se počítá obsah čtverce, protože výraz "a × a" lze zapsat početně jako "a²" neboli [á na druhou], což je to samé jako [á krát á]. A ten výraz "na druhou" značí, že násobíme metr krát metr, čemuž se právě říká metr čtvereční. 

Tak, to by k obvodu a obsahu základních tvarů - čtverci, obdélníku a trojúhelníku, mohlo stačit.

Na závěr ještě přikládám svou ukázku toho, jak se mají provádět pohyby hůlkou při těchto kouzlech a výpočtech. 

E. M.